سئوالات متداول معلمین راهنمایی
سئوالات متداول معلمین راهنمایی
آيا با اضافه شدن تعداد صفحات كتابهاي رياضي، نبايد به ساعت تدريس آن اضافه كرد؟
با توجه به اضافه شدن محتواي كتابها آيا نيازي به اضافه شدن ساعات تدريس نيست؟
علت استفاده از نمودار درختي براي پيدا كردن مقسوم عليههاي يك عدد (سئوال 3 كار در كلاس صفحهي 15 رياضي اول راهنمايي) چيست؟
سئوال دوم قسمت حل مسئلهي صفحهي 39 كتاب رياضي دوم راهنمايي را چگونه براي دانش آموزان توضيح دهيم، آيا اين مسئله در سطح درك وفهم دانشآموزان كلاس دوم راهنمايي هست؟
آيا با وجود اضافه شدن تعدادي فعاليت به محتواي كتاب لازم نيست ساعات درسي افزايش يابد؟
قسمت حل مسئله با چه هدفي در كتاب ها آورده شده است؟
قسمت حل مسئله چگونه آموزش داده شود؟ تفاوت حل مسئلههايي كه در 2 صفحه آمده و حل مسئلههاي قسمت تمرين در چيست؟
مسألهي 3 از قسمت حل مسألهي صفحهي 37 كتاب رياضي اول راهنمايي با چه هدفي طرح شده است؟ آيا اين سئوال واقعي است؟ آيا محاسبات آن طولاني نيست؟
آيا براي ايجاد فهم رشد و توابع تواني يك سئوال كافي است؟
پاسخ ها
- آيا با اضافه شدن تعداد صفحات كتابهاي رياضي، نبايد به ساعت تدريس آن اضافه كرد؟
اين سئوال در اغلب جلسات توسط معلمان مطرح ميشود. در پاسخ بايد اشاره كرد،تعداد صفحات ملاك تعيين ساعت هاي تدريس براي يك كتاب درسي نيست. چرا كه تعداد صفحههاي يك كتاب به نوع صفحهآرايي، تصاوير وعكسهاي استفاده شده وهنر صفحهآرا و طراح نيز مربوط ميشود. ميتوان يك متن و محتواي ثابت را به شكلهاي مختلف صفحهآرايي كرد وهر بار تعداد صفحات را تغيير داد. با مقايسهي كتابهاي رياضي فعلي وكتابهاي قبل از بازسازي، ميتوان تفاوت و كا رهنري آن دو را ملاحظه كرد. از عوامل اضافه شدن تعداد صفحات ميتوان اين موارد را نام برد: 1) ارائهي رسمهاي كتاب در يك صفحه. هر كدام از اين رسم ها در صفحه و بدون توضيح ارائه شده بودند. 2) اضافه شدن تعدادي طرح،نقاشي و عكس به كتاب درسي براي ايجاد جذابيت تنوع وارائهي پيامهاي آموزشي. 3) فصل بندي كتاب و تغيير درنحوه ي ارائهي مطالب. اگر دقت داشته باشيد رنگ سبز نشاندهنده ي فصل ها، رنگ سياه براي عناوين اصلي و رنگ قرمز براي درسها انتخاب شده است. در فهرست كتاب اين تقسيمبندي بهتر مشخص شده است . سعي شده است شروع هر فصل وموضوع اصلي همراه با يك طرح يا تصوير باشد. 4) در اغلب«كار دركلاس» فضاي لازم براي نوشتن پاسخها ملحوظ شده است. با توجه به موارد فوق اضافه شدن تعداد صفحات نسبت به كتاب هاي قبل از بازسازي طبيعي به نظر ميرسد. عوامل اصلي در تعيين ساعتهاي مورد نياز براي تدريس عبارت اند از تعداد مفاهيم و همچنين نوع روش تدريس انتخاب شده كه در سئوال هاي بعدي به آنها پاسخ دادهايم.
با توجه به اضافه شدن محتواي كتابها آيا نيازي به اضافه شدن ساعات تدريس نيست؟
در پاسخ به اين سئوال بايد توجه داشت كه از نظر تعداد مفاهيم رياضي كه قرار است در دورهي راهنمايي تدريس شود، هيچ مفهومي به كتاب ها اضافه نشده وهيچ مفهومي حذف نشده است. تنها بعضي از مفاهيم در كتاب جابهجا شده است. براي مثال دركتاب اول راهنمايي درس تساوي مثلثها به قبل از ترسيمهاي هندسي منتقل شده است. يا دركتاب سوم راهنمايي درس دوران در قسمت هندسهي 1 ارائه شده است. در اين خصوص نيز نمي توان افزايش ساعات تدريس را مطرح كرد.
علت استفاده از نمودار درختي براي پيدا كردن مقسوم عليههاي يك عدد (سئوال 3 كار در كلاس صفحهي 15 رياضي اول راهنمايي) چيست؟
ترتيب تدريس مفاهيم مربوط به مقسوم عليه يك عدد به اين شرح است: 1) آموزش مفهوم مقسوم عليه يك عدد. مثال: عدد 6 مقسوم عليه 12 است. 2) نوشتن مجموعهي مقسومعليههاي يك عدد.مثال: 6،3،2،1 = مجموعه مقسوم عليههاي 6 3) تعريف عدد اول: عددي است كه مجموعهي مقسوم عليههايش 2 عضو داشته باشد. 4) تعريف مقسوم عليه اول. مقسوم عليهي كه عدد اول هم باشد. 6و3و2و1 براي آموزش مقسوم عليه اول ابتدا مجموعهي مقسوم عليههاي عدد نوشته ميشود. سپس مقسوم عليههايي كه اول هستند با يك خط مشخص ميشوند. 5) نمودار مقسوم عليههاي يك عدد. وقتي مي خواهيم مجموعهي مقسومعليههاي عددهاي بزرگتر از 20 را بنويسيم (مقسوم عليههاي اعدادكمتر ازآن با حدس زدن يا تقسيم كردن به راحتي مشخص ميشود. براي عددهاي بزرگ تر حدس زدن يا تقسيم كردن روش ساده ور احتي نيست). از نمودار مقسومعليهها به مقسوم عليههاي اول آن عدد احتياج داريم. اغلب اين اشتباه در تدريس معلمان ديده شده است. كه براي پيدا كردن مقسومعليههاي اول يك عدد، ابتدا مقسوم عليههاي اول را مشخص كرده به كمك آن نمودار را رسم ميكنند چنين كاري نقض غرض است چرا كه اگر مجموعهي مقسوم عليهها را داشته باشيم، نيازي به كشيدن نمودار نداريم. بنابراين بايد از روشي ديگر مقسومعليهعاي يك عدد را تشخيص داد. براي اين كار ميتوان عدد مورد نظر را به عددهاي كوچكتر از آن تقسيم كرد. البته اين كار علاوه بر وقت گير بود مستلزم اين است كه عددهاي اول را داشته باشيم.براي حل اين مشكل و براي رفع كردن اشتباه تدريس بعضياز معلمان، نمودار درختي تجزيهي عددها دركتاب بازسازي شدهي اول راهنمايي آورده شده است تا به كمك آن مقسوم عليه اول عدد به دست آيد. به مثال زير توجه كنيد. ميخواهيم مقسوم عليه اول عدد 30 را به دست آوريم. براي اين كار از ضرب دو عدد كه حاصل آن 30 باشد استفاده ميكنيم. كا رتجزيه كردن عدد به دو عامل ضرب را آن قدر ادامه ميدهيم تا به عددهاي اول برسيم. تفاوتي در انتخاب دو عامل ضرب وجود ندارد. هر دوي آنها به يك نتيجه منجر ميشوند. توجه معلمان محترم را به اين نكته نيز جلب مي كنيم كه اين كار فقط در سطح عددهايي كه دركتاب درسي آمده است توصيه ميشود. چرا كه با بزرگ شن عدد حدس زدن عاملهاي ضرب دشوار شود. اما اين روش پاسخگوي نيازهاي دانشآموزان اول راهنمايي خواهد بود. مجدداً يادآوري ميشود، ابتدا از اين روش مقسوم عليه اول را پيدا كرده سپس نمودار مقسومعليهها رسم شود و به كمك نمودار (تمام عددهاي داخل نمودار) مجموعهي مقسوم عليههاي عدد مورد نظر نوشته شود.
سئوال دوم قسمت حل مسئلهي صفحهي 39 كتاب رياضي دوم راهنمايي را چگونه براي دانش آموزان توضيح دهيم، آيا اين مسئله در سطح درك وفهم دانشآموزان كلاس دوم راهنمايي هست؟
در ابتدا متن سئوال را يادآور ميشويم. در ابتدا متن سئوال چوبي و گلولههايي به رنگهاي قرمز و آبي ميخواهد تعداد كاردستي مانند شكل مقابل بسازد. با توجه به رنگ گلولهها، او چند نوع متفاوت از اين كاردستيها ميتواند بسازد؟ اگر گلولهها سه رنگ باشند، چند نوع شكل متفاوت مي تواند بسازد؟ در خصوص فهميدن مسئله چندين بدفهمي توسط معلمان گرامي مطرح شده است. 1) آيا منظور ساخت يك كاردستي است يا كشيدن يك نقاشي؟ در اين خصوص بايد توضيح داد كه اين سئوال هدف ساختن يك كاردستي است لذا دو حالت زير در واقع يك مورد محسوب ميشود. البته بايد توجه داشت كه اگر دانشآموزي موارد فوق را در حالت جداگانه فرض كرده و بر اساس آن پاسخ خود را اعلام ميكند، در صورتي كه با فرض او تعداد حالتهايي كه به دست آورده. صيحح باشد، بايد راهحل او پذيرفته شود. 2) با توجه به اين كه شكل مسئله و نمونهي ارائه شده هر دو رنگ آبي وقرمز به كار رفته است آيا اين مسئله بايد در تمام حالتها رعايت شود؟ در پاسخ به اين سئوال نيز بايد گفت، در اين مسئله چنين شرطي وجود ندارد بنابراين ميتوان حالت هر 4 گلولهي آبي يا هر4 گلوله قرمز را نيز قزض كرد. مجدداً يادآور ميشود در صورتي كه دانش آموزي اعلام كند، «مسئله را با اين فرض حل كرده كه حتماً از هر دو نوع گلوله استفاده شود»وبا اين فرض پاسخ او درست است، بايد راه حل و جواب او را پذيرفت. اكنون با روشن شدن گام «فهميدن مسأله» به سراغ«انتخاب راهبرد» ميرويم. براي حل اين مسئله سه كار ميتوان انجام داد 1) استفاده از راهبرده رسم شكل و كشيدن حالتهيا مختلف 2) استفاده از ساختن عمل هاي ساده وكمك ميله و گلوله مشخص كردن حالت هاي مختلف 3) استفاده از راهبرد «جدول نظام دار» براي مشخص كردن تعداد حالتها.
آيا با وجود اضافه شدن تعدادي فعاليت به محتواي كتاب لازم نيست ساعات درسي افزايش يابد؟
قبلا اشاره شد كه اضافه شدن صفحات كتاب درسي به معني درخواست جهت اضافه شدن ساعات تدريس نيست. به طور كلي موارد مي تواند ساعات مورد نياز براي تدريس يك كتاب را تحت تاثير قرار دهد: 1) تعداد مفاهيم (هدفهاي مورد نظر ) 2) روشهاي تدريس همان طور كه در شمارهي قبل توضيحان داده شد، در بازسازي كتب رياضي دورهي راهنمايي محتواي جديدي به كتاب اضافه نشده و محتوايي نيز حذف و يا كم نشده است اما از آن جا كه روش تدريس از روش انتقالي به سمت روشهاي فعال حركت كرده است و انجام فعاليتهاي دانش آموزي در هنگام تدريس مورد نظر، اين امكان وجود دارد كه اين كتاب ها ساعات بيشتري براي تدريس نياز داشته باشد. به هر حال همهي برنامهريزان درسي معتقدند كه اجراي روش هاي فعال وقت گيرتر از روشهاي انتقال يك سويه و غير فعال است. اكنون بايد بررسي كرد كه چگونه ميتوان در زمانهاي آموزش صرفهجويي كرد تا بتوانيم روش هاي فعال را با انجام فعاليت ها دنبال كنيم و هم در پايان با كمبود وقت مواجه نشويم. توجه به اين نكته كه: «با تغيير روش تدريس كتاب ساير شرايط آمورش از جمله ويژگيهاي معلم و دانش آموز، نحوهي بررسي تكاليف، تعداد تمارين مورد نياز و… نيز تغيير خواهد كرد». معلمان محترم را در درك اين موقعيت كمك خواهد كرد. از ويژگيهاي روش تدريس انتقالي اين است كه درس به يك باره گفته ميشود اما بارها و بارها قالب تمرينهاي مشابه و يكنواخت، تكرار ميشود و به اصطلاح تكرار وتمرين زياد باعث تثبيت و تعميق يادگير ميشود اما روش فعالي تعميق يادگيري با انجام فعاليت توسط خود دانش آموزي به وقوع ميپيوندد و ديگر نيازي به حجم زيادي از تمرين و تكرار وجود ندارد. به هين دليل در بازسازي انجام شده تعدادي از تمرينهاي مشابه وتكراري از متن كتاب درسي حذف شده است. كافي است مقايسهي كتابهاي بازسازي شده با كتابهاي قبل و بعد از قبلي مقايسه كنيم تا دريابيم كه حجم قابل ملاحظهاي از تمرينها و كار در كلاسها حذف شدهاند. پژوهشهاي آموزشي زيادي نشان داده است كه اجراي روش هاي فعال در آموزش رياضي به طورقابل توجهي نياز به تكرار، تمرين دورهاي، دورهي دروس و.. را كاهش ميدهد و از اين زمان به دست آمده ميتوان در جهت وتوسعهي روشهاي فعال استفاده كرد. علاوه بر اين لازم است معلمان محترم رياضي نيز در بعضي از فعاليتهاي خود تجديد نظر كنند تا از اتلاف جلوگيري شود.در اينجا چند نمونه از مواردي كه در جلسات گفت وگو با معلمان مشاهده شده است، ذكر شود. 1- اغلب معلماني كه نسبت به كم بودن زمان تدريس معترض هستند، علاوه بر مفاهيم كتاب درسي در هرپايه تحصيل مطالب و محتوايي تكميلي به دانش آموزان ارائه كنند در پاسخ به اين افراد بايد گفت زمان تدريس پيشبيني شده براساس محتواي موجود كتاب درسي است و اگر به آن مفاهيم را اضافه ميكنيد، قطعاً در تنظيم وقت با مشكل مواجه خواهيد شد. 2- تعداد زيادي از معلمان علاوه بر كتاب درسي به دانش آموزان خود تمرينهايي در دفتر يا به صورت جزوه و يا در قالب كتابهاي كمك درسي ارائه ميكنند. قطعاً با رويكردهاي جديدي هم نيازي به انجام اين مقدار تمرين نيست و هم افزايش تعداد تمرينها و حل همه يا بعضي از آن تدريس در كلاس درس موجب اختلال در ساعات تدريس ميشود. 3- وقتي به اين دسته از معلمان گفته ميشود كه چرا محتوا و مفاهيم جديد و يا تمرينهاي تكميلي ارائه ميكنيد. عموم آن ها پاسخ ميدهند كه مسئولين مدرسه، اوليا دانش آموزان از ما چنين چيزي را ميخواهند و ما مجبوريم پاسخگوي آنها باشيم دانشآموزان بتوانند در آزمونهاي مختلف (ورودي مدارس- علمي- المپيادها- تيز هوشان و…) موفق شوند. با توجيهات فوق نميتوان به كتاب درسي وزمان مورد نظر براي تدريس آن انتقاد وارد كرد. 4ـ در طرف مقابل معلمان اشاره شد در موارد فوق تعدادي معلم قرار گرفتهاند نكه اذعان دارند در آموزش خود نه محتوايي اضافه ميكنند و نه تمرينهيا تكميلي ميدهند. آنها معتقدند كه دچار كمبود وقت هستند؛ چون در كلاس خود با دانش آموزان ضعيف مواجه شوند. اغلب آنها دروس رياضي دبستان خود را به خوبي ياد نگرفتهاند و لذا در كلاس رياضي دورهي راهنمايي با مشكل روبرو ميشوند. اين معلمان اغلب در مناطق داراي امكانات محدود و كلاسهاي با جمعيت زياد تدريس كنند در پاسخ به آنهابايد اشاره كرد كه كتاب درسي راهنمايي با اين قرض برنامهريزي شده است كه دانش آموزان در دورهي ابتدايي به اهداف برنامهدست يافتهاند. حال اگر دانشآموزي به هر دليلي نتوانسته است به هدفهاي مورد نظر كتاب درسي يابد، بايد از طريق ديگر مشكل را حل كرد. حل اين اين نوع مشكلات به عهدهي نهادهاي اجرايي وزارت آموزش و پرور است. مسئوولان آموزش مناطق و سازمانهاي آموزش و پرورش بايد براي اين گونه مدارس و دانشآموزان فرصتهاي جبراني و تكميلي فراهم كنند. براي مثال در قانون پيشبيني شده است كه اگر تعداد قبولي دانشآموزان مدرسه پايين باشد، آن مدرسه ميتواند يك ساعت كلاس جبراني در طول سال تحصيل به ساعات آن درس اضافه كند. اجراي اين قانون مشروط به وجود معلماني است كه فرصت اضافي در آن منطقه آموزشي داشته باشند. 5- يكي از ديگر دغدغههاي معلمان محترم اين است كه مسئولان مدرسه، دانشآموزان و خانوادههاي انتظار دارند كه تمام تمرينهاي كتاب بايد در كلاس حل وبررسي شود. اين كار وقت زيادي را ميگيرد و معلمان به ناچار از كيفيت زمان آموزش ميكاهند. همان طور كه اشاره شد معلمان رياضي با تغيير روش تدريس در ماهيت كارهاي اجرايي خود بايد تجديد نظر كنند، يكي از اين موارد تجديد نظر اين است كه اغلب موارد نيازي به حل و بررسي تمام مواردي كه تمرينهاي درسي نيست، به خصوص مواردي كه تمرينها مشابه هم هستند وهدفهاي گوناگون را دنبال نميكنند. براي مثال وقتي در يكي از تمرينها يا دركلاسهاي كتاب تعداد 20 عدد تمرين دربارهي محاسبه و جمع دو عدد صحيح وجود دارد، و دانش آموزان اين تمرينها را حل كردهاندنياز به بررسي تمام موارد نيست.
قسمت حل مسئله با چه هدفي در كتاب ها آورده شده است؟
يكي از مشكلات عمدهي دانش آموزان ما در درس رياضي مشكل آنها در حل مسئله است. اغلب دانش آموزان ومعلمان در دورهي ابتدايي از كتاب چهارم دبستان ودشوراي آن گله دارند. وقتي موضوع به دقت بررسي شود مشخص ميگردد كه كتاب چهارم از نظر حجم وتنوع مسئلههاي رياضي با ساير كتابها تفاوت دارد و همين موضوع باعث برور مشكل در رياضي چهارم شده است. از طرفي ديگر در مطالعهي بينالمللي تميز يكي از اشكالات اساسي دانش آموزان ما در درس رياضي، حل مسئله و ناتواني آنها را از پاسخگوئي به مسئلههاي آزمون عنوان شد. همچنين وقتي در جمع معلمان رياضي دورهي راهنمايي ومعلمان دورهي ابتدايي در مورد مشكل رياضي دانش آموزان سئوال ميكنيم. اغلب از وضعيت حل مسئله گله ميكند. قسمت حل مسئله در كتاب هاي رياضي براي رفع همين مشكل در نظر گرفته شده است. سالها پيش اكثر آموزشگران رياضي معتقد بودند كه «حل مسئله» آموزش دادني نيست. به عبارت ديگر آن را نميتوان به دانش آموزاني ياد داد. توانايي حل مسئله ذاتي است. بعضي از دانش آموزان اين توانايي را دارند، بعضي ندارند. با توجه به اين اعتقاد و نگرش طرحي براي آموزش حل مسئله ديده نميشد و كسي به فكر طرح دادن يا تغيير طرحهاي قبلي وارائهي ايدههاي نو نداشت. اما جرج پوليا، رياضيدان رومانيايي، كسي بود كه اين تفكر و نگاه را زير پا گذاشت. او كه استاد دانشگاه بود با خود فكر ميكرد چرا او ميتواند مسئله دشوار رياضي را حل كند و ديگران نميتوانند؟ چرا بعضي از دانشجويان بهتر از بقيه مسئله را حل ميكنند؟ آنگاه گفت آيا اين توانايي را ميتوان افزايش داد؟ پوليا پس از مدت ها تحقيق، با نوشتن كتاب «چگونه مسئل را حل كنيم» مدعي شد كه حل مسئله را ميتوان آموزش داد. حرف او بر 2 اصل مهم متكي بود. وي معتقد بود كه اگر بخواهيم حل مسئله را آموزش دهيم ،ابتدا بايد با فرآيند تفكر و اتفاقاتي كه در ذهن انسان هنگام حل مسئله ميافتد آشنا شويم و سپس در مورد چگونگي آموزش برنامهريزي كنيم. از اين رو ابتدا مدلي براي تفكر حل مسئله مطرح كرد. مدل چهار مرحلهاي پوليا كه در حال حاضر كتاب هاي درسي استفاده شده است، (فهميدن، انتخاب راهبرد، حل مسئله برگشت به عقب) و به نوعي جريان تفكر در هنگام حل اين مسئله را روشن ميكند. همان مدل پولياست، اصل دون پوليا اين بود كه آموزش راهبردها بايد محور كار قرار بگيرد. به عبارت ديگر آنچه كه آموزش دادني است، آموزش راهبردها (استراتژيها) است. او توصيه كرد كه اگر راهبردها به شكل مناسبي به دانش آموزان آموزش داده شود.مهارت وتوانايي حل مسئلهي آنهابهتر خواهد شد. بايك توضيح اصل دوم پوليا را براي معلمان رياضي دورهي راهنمايي قابل فهمتر ميكنيم. اغلب معلمان رياضي به ياد دارند كه قبل از باز سازي كتاب هاي رياضي در چند سال پيش، در صفحهي 13 كتاب رياضي دوم راهنمايي 8 مسئله وجود داشت كه اغلب دانشآموزان با اين حل اين مسائل مشكل داشتند و لذا معلمان عموماً حل آنها را به بعد از درس معادله موكول ميكردند چون اعتقاد معتقد بودند وقتي دانش آموزان حل اين مسئله به كمك معادله را ياد ميگيرند اين مسئله را بهتر حل كنند . به عبارت ديگر راهبرد(روش- استراتژي) تشكيل معادله كار را براي دانشآموزان در حل مسئله سادهتر ميكند. اين همان حرف پوليا است كه اگر راهبردها را به دانش آموزان آموزش دهيم مهارت حل مسئله آنها بهتر ميشود. قسمت حل مسئله كه به آموزش راهبردها اختصاص دارد، در واقع كمك ميكند تا توانايي ومهارت حل مسئلهي دانش آموزان ارتقا يابد.در كلاس اول راهنمايي آموزش 6 راهبرد و در كلاس دوم راهنمايي ضمن يادآوري اين 6 راهبرد آموزشي 2 راهبرد ديگر مورد نظر است. در كلاس سوم راهنمايي اين 8 راهبرد صرفاً تمرين شده و آموزش مجددي ندارند.
قسمت حل مسئله چگونه آموزش داده شود؟
تفاوت حل مسئلههايي كه در 2 صفحه آمده و حل مسئلههاي قسمت تمرين در چيست؟ همان طور كه در ابتدا ذكر شد، توصيه مي كنيم به كتاب معلم مراجعه شود تا شيوهي آموزش حل مسئله براي معلمان محترم بهتر و بيشتر تبيين گردد. در اين قسمت صرفاً به هدف هاي قسمت حل مسئله در الگوي 2 صفحهاي و قسمت تمرينها ميپردازيم، در كتابهاي رياضي سال اول و دوم راهنمايي به ترتيب 6 و 8 و قسمت 2 صفحهاي قرار دارد. هر كدام از اين صفحهها يك راهبرد حل مسئله را آموزش ميدهند. براي مثال در تصوير بالا كه مربوط به صفحات م6 و7 كتاب رياضي اول راهنمايي است قصد دارم راهبرد رسم شكل را آموزش دهيم. هر كدام از اين الگوهاي دو صفحهاي م2 هدف را دنبال ميكنند: 1- در پايان آموزش آن دانش آموز بايد ياد بگيرد كه راهبرد مورد نظر (براي مثال شكل) يكي از راهها يا روش ها يا تكنيكهاي حل كردن مسئله است و از آن مي توانند در حل بسياري از مسئلهها استفاده كنند. 2- ياد بگيرند كه چگونه را رهبرد مورد نظر (براي مثال رسم شكل) در حل كردن مسئلهها استفاده كنند به عبارت ديگر راهبردي را كه ياد گرفته اند به كار برند. اين دو صفحه شامل 2 مستطيل است، كه در مجموع آن راهبرد و موارد استفاده از آن را توضيح ميدهند. هم چنين 2 مسئله مطرح و در چارچوب مدل 4 مرحلهاي پوليا حل شده است. (قسمتي از حل به عهده دانش آموزان است. ) مسئله اول براي هدف اول و مسئله دوم براي هدف دوم در نظر گرفته شده است. وقتي معلم مسئله اول را براي دانش آموزان مطرح ميكنند ممكن است آنهابه راههاي متعدد فكر كنند. در پايان معلم راهبرد مورد نظر نتيجهگير و جمع ميكند براي مثال مي گويد: «دانش اموزاني كه با كشيدن شكل سعي كردهاند مسئله را حل كنند موفق تر بودند يا اينكه دوست شما به كمك كشيدن يك شكل مناسب توانست مسئله را حل كند، پس يادتان باشد كه از اين به بعد هر وقت با مسئلهاي مواجه شديد فكر كنيد كه آيا كشيدن شكل ميتواند به شما در حل اين مسئله كمك كند يا خير. سپس معلم مسئلهي بعدي را مطرح كرده و از دانش آموز ميخواهد با راهبردي كه در آن روز آموزش داده شده مسئلهي دوم را حل كنند. در واقع در اين قسمت دانش آموزان به كار بردن راهبردها را تمرين ميكنند. همان طور كه درتصوير اين صفحه ميبينيد، در صفحهي 10 كتاب رياضي اول راهنمايي 4 مسئله وجود دارد. در مستطيل سبز رنگ اين قسمت، نام 6 راهبردي كه قرار است دركلاس اول راهنمايي آموزش داده شود نوشته شده است. 2 راهبرد «رسم شكل» و «زير مسئله» پررنگ هستند. يعني تا اين قسمت 2 راهبرد آموزش داده شده و دانش آموزان ميتوانند از آنها براي حل كردن اين 4 مسئله استفاده كنند وقتي راهبرد ششم آموزش داده ميشود، هر 6 راهبرد پررنگ شده و مشخص ميشود كه دانش آموزان از تمام راهبردها مي توانند براي اين مسئله استفاده كنند. در كتاب رياضي سوم راهنمايي الگوهاي 2 صفحهاي حل مسئله كه مخصوص آموزش راهبردها است وجود ندارد چون فرض شده است دانش آموزان ن8 راهبرد مورد نظر را ياد گرفتهاند. اما در حل اين مسئلههاي قسمت تمرين مستطيل سبز رسم شده ونام هر 8 راهبرد نوشته شده و همهي آنها پررنگ هستند. يعني آنها ميتوانند براي حل مسئلههاي داده شده از هر 8 راهبرد استفاده كنند.
مسألهي 3 از قسمت حل مسألهي صفحهي 37 كتاب رياضي اول راهنمايي با چه هدفي طرح شده است؟ آيا اين سئوال واقعي است؟ آيا محاسبات آن طولاني نيست؟
جهت يادآوري، ابتدا متن مسأله از كتاب اول راهنمايي ذكر ميشود: فرزانه براي كار به يك شركت مراجعه كرد وپس از مصاحبه، فهميد كه نحوهي حقوق دادن آن شركت به اين ترتيب است كه: دو ماه اول 000/10 تومان، دو ماه دوم برابر ماه اول، در ماه سوم دو برابر ماه دوم، در ماه چهارم دو برابر ماه سوم حقوق ميدهند و به همين ترتيب تا ماه دوازدهم حقوق را زياد ميكنند. به اين ترتيب درآمد هر ماه فرزانه در يك سال چقدر خواهد بود؟ براي يك سال كار كردن بهتر است او اين روش حقوق را بپذيرد يا ماهانه 400 هزار تومان دريافت كند؟ اغلب معلمان رياضي ميپرسند: آيا چنين روش در حقوق دادن وجود دارد؟ آيا اين مسأله واقعيت دارد؟ آيا اين يك مسألهي كاربردي است؟ در پاسخ بايد گفت: به يقين استفاده از مسئلههاي كاربردي، واقعي و ملموس براي دانش آموزان مفيدتر از طرح سئوالاتي است كه جنبه واقعي وقابل درك نداشته باشد اما در درس رياضي بسياري از مسألهها مطرح ميشوند كه ماهيت رياضي آن اهميت دارد و به درك و فهم بهتر موضوع و عميق بخشيدن به دانش رياضي كمك ميكنند. مسأله بالا يكي از اين مسألهها است. اما هدف اين مسأله چيست؟ اين مسأله مشابه سئوال تكثير سلول ها است كه در متن درس توان آمده است در اين دو سئوال آنچه هدف است اهميت دارد، رشد سريع توابع تواني است به عبارت ديگر دانش آموز در نگاه اول در اين مسأله ممكن است روش حقوق گرفتن(در هر ماه 400 هزار تومان ) را انتخاب كند. چون به نظرش ميرسد كه اگر هر ماه بخواهند 10 هزار تومان حقوق را دو برابر كنند تا پايان سال رقم زيادي نميشود و شايد كه 400 هزار تومان كه حقوق يك ماه باشد نيز نرسد. اما بعد از انجام محاسبات متوجه ميشود كه دو برابر شدن چطور عداد اوليه را رشد ميدهد و در يك سال تفاوت زيادي ايجاد ميكند. بنابراين معلمان محترم در اين مسأله صرفاً به هدف اصلي كه همان نشان دادن رشد سريع توابع تواني است تأكيد كنند و زمان را براي محاسبه تاكيد بر چگونگي محاسبات صرف نكنند. در پاسخ گويي به اين سئوال ميتوان از ماشين حساب كمك گرفت تا در زمان صرفهجويي شود. در جدول روبرو ميزان حقوق فرزانه از روش اول در ماههيا مختلف مشخص شده است. همانطور كه ملاحظه ميكنيد حقوق ماه دوازدهم رقم بسيار زيادي شده است. البته لازم نيست محاسبات را تا 12 ماه ادامه دهيد. هر زمان كه دانش اموزان با ديدن عددهاي به دست آمده متعجب شدن و تعجب خود را به شكلهاي مختلف ابراز كردند محاسبات را قطع كنيد؟
آيا براي ايجاد فهم رشد و توابع تواني يك سئوال كافي است؟ معلمان رياضي پس از شنيدن توضيحات فوق رافوراً سئوال ميكنند كه اگر شما اين هدف را دنبال ميكرديد آيا با يك سئوال ميتوان به اين هدف رسيد؟
در پاسخ بايد گفت، در كتابهاي رياضي دوره راهنمايي با يك سير منطقي در تمام درسهاي توان سئوالهايي مشابه در نظر گرفته شده است. جهت اطلاع معلمان گرامي و براي درك بهتر اين ارتباط و پيوستگي مسائل رياضي، فهرستي از مسائلي كه با اين هدف در كتابهاي راهنمايي ارائه شده است در اين جا آمده است: 1- فعاليت صفحهي 33، شروع درس توان كلاس اول در خصوص تكثير سلولها. اين فعاليت به درك لزوم استفاده از نماد توان براي ساده كردن عبارت ضرب و همچنين، قراردادي بدون نماد اشاره دارد. ضمن آنكه اين فهم را ايجاد ميكند كه يك سلول پس از 10 مرحله به 1024 سلول تبديل ميشود و اين رشد خيلي سريع است. 2- مسئله 3 صفحهي 37 كتاب رياضي اول راهنمايي كه در بالا به آن اشاره شد. 3- در صفحهي 41 كتاب رياضي دوم راهنمايي درس توان با يك فعاليت آغاز شود. اگر بتوانيم كاغذي را با 26 بار تا كنيم تعداد كاغذهايي كه روي هم قرار ميگيرند 26 2 عدد ميشود كه با يك محاسبهي تقريبي ميتوان نتيجه گرفت كه ارتفاع اين ارواق حدود 6 كيلومتر ميشود! 000/000/60=60*1000*1000 اگر 100 برگ كاغذ يك سانتيمتر ارتقاع داشته باشد ارتفاع كاغذهايي با تعداد فوق بيش از 6 كيلومتر خواهد شد. در اين مسئله استفاده از قانون ضرب با پايههاي مساوي براي محاسبه كردن 226 نيز ميتوان مورد تاكيد قرار گيرد. 4- تمرين 2 از صفحهي 46 كتاب رياضي دوم راهنمايي نيز به رشد سريع تابع 24 تاكيد دارد. دانش آموزان تعداد رقمهاي عددهاي 410 و 420 را پيشبيني مي كنند و متوجه بزرگي اين عددها ميشوند. 5- تمرين 3 از صفحهي 46 كتاب رياضي دوم نيز رشد تابع x2 را به كمك نمودار ستوني نشان ميدهد.دانش آموز بايد براي رسم حاصل 21 ، ارتفاع ستون مربوط به 21 دو برابر كند. به همين ترتيب دو برابر كردن ستونها را ادامه دهد. وقتي ستون 25 را رسم ميكند متوجه ميشود كه چگونه اين عددها با سرعت رشد ميكنند. 6- در مسألهي 2 صفحهي 12 كتاب رياضي سوم راهنمايي نيز افسانه شطرنج مطرح شده است. اگر مقدار گندم مورد نظر مخترع شطرنج را محاسبه كنيد. عددهاي بسيار بزرگي خواهد شد پادشاه هند چون درك درستي از عددهاي تواندار نداشت. نتوانسته بزرگي اين عددها را پيشبيني كند. به هر حال اين 6 مورد با هدف ايجاد درك درست از بزرگي يا كوچچكي عددهاي توان دار به كتاب هاي درسي رياضي در نظر گرفته شدهاند. اميدواريم معلمان گرامي با در نظر گرفتن هدف اين مسألهها به حل و توضيح آنها اقدام كنند.
گروه رياضي